Доказать 1/1*2+1/2*3 + ... 1/n (n+1) = n/n+1=n/n+1

Нам необходимо доказать, что

S (n) = 1 / 1 * 2 + 1 / 2 * 3 + ... + 1 / n * (n + 1) = n / (n + 1).

Проведем доказательство по индукции.

S (1) = 1 / 1 * 2 = 1/2 = 1 / (1 + 1) = 1/2.

Предположим, что утверждение верно

для любого натурального к < = n.

Тогда

S (n + 1) = 1 / 1 * 2 + 1 / 2 * 3 + ... + 1 / n * (n + 1) +

+ 1 / (n + 1) * (n + 2) = S (n) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= n / (n + 1) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= (n * (n + 2) + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n^2 + 2 * n + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n + 1) ^2 / (n + 1) * (n + 2) = (n + 1) / (n + 2), что и требовалось доказать.