В коробке синие, красные, жёлтые, зелёные и чёрные карандаши - всего 71 штука. Синих карандашей в 9 раз меньше, чем красных, жёлтых в 7 раз больше, чем зелёных, а чёрных в 3 раза меньше, чем красных. Сколько жёлтых карандашей?

Пусть в коробке лежало х синих карандашей и у зелёных, тогда красных карандашей было (9 ∙ х), а чёрных (3 ∙ х) штук, при этом жёлтых карандашей было (7 ∙ у), так как из условия задачи известно, что в коробке лежало синих карандашей в 9 раз меньше, чем красных, жёлтых в 7 раз больше, чем зелёных, а чёрных в 3 раза меньше, чем красных. Зная, что синие, красные, жёлтые, зелёные и чёрные карандаши составляют всего 71 штуку, получаем уравнение:

х + 9 ∙ х + 3 ∙ х + у + 7 ∙ у = 71;

13 ∙ х + 8 ∙ у = 71.

Подбором находим решения этого уравнения: (3; 4) и (5; 2).

Если у = 4, то 7 ∙ у = 28, если у = 2, то 7 ∙ у = 14.

Ответ: жёлтых карандашей 14 или 28 штук.

В задаче требуется найти количество жёлтых карандашей.

Составление уравнения задачи

Пусть синих карандашей в коробке было х штук. Тогда красных карандашей было 9 х, так как по условию задачи синих в 9 раз меньше красных (а значит красных в 9 раз больше синих); чёрных карандашей было 3 х штук, так как их в 3 раза меньше красных (9 х/3 = 3 х). Пусть зелёных карандашей было у штук. Тогда желтых 7 у штук, так как по условию их в 7 раз больше зелёных. Всего в коробке 71 карандаш. Составим уравнение задачи:

х + 9 х + 3 х + у + 7 у = 71.

Решение уравнения

Приведём подобные слагаемые и запишем уравнение в виде:

13 х + 8 у = 71.

Получили линейное диофантово уравнение. Решить его можно четырьмя способами:

методом подбора, при этом значения х, у должны быть целочисленными и не отрицательными; решение относительного одного неизвестного. В этом овчаре необходимо выразить одну переменную через другую и подставить в одно из уравнений; универсальный способ поиска частного решения с применением алгоритма Евклида; геометрический способ.

Мы решим полученное уравнение методом подбора.

Подбор корней уравнения

Подбор корней уравнения 13 х + 8 у = 71 начнём со значения х = 1 (1 - число целое, не отрицательное). Далее будем подставочть значения х в уравнение.

при х = 1:

13*1 + 8 у = 71,

8 у = 71 - 13,

8 у = 58,

у = 7,25 - не подходит (не целое число).

при х = 2:

13*2 + 8 у = 71,

у = 5,6 - не подходит (не целое число).

при х = 3:

13*3 + 8y = 71,

y = 4 - подходит.

при х = 4:

13*4 + 8 у = 71,

у = 3,6 - не подходит.

при х = 5:

13*5 + 8 у = 71,

у = 0,75 - не подходит.

при х = 6:

13*6 + 8 у = 71,

у = - 0,8 - не подходит (не целое, отрицательное).

Вывод

Путём подбора корней выяснили, что х = 3, у = 4. Таким образом, в коробке было 3 синих карандаша, 9*3 = 27 красных карандашей, 3*3 = 9 чёрных карандашей. Зелёных карандашей было 4, а значит жёлтых 7*4 = 28 карандашей.

Проверка:

3 + 27 + 9 + 4 + 28 = 71,

71 = 71.

Ответ: в коробке было 28 жёлтых карандашей.