Доказать, что равенство x²+4y²+4y-4x+5≥0 верно при любых х и у.

Для доказательства равенства переместим слагаемые неравенства и сгруппируем их следующим образом:

x² + 4y² + 4y - 4x + 5 = (x² - 4x + 4) + (4y² + 4y + 1) =

(x² - 2 * 2x * 1 + 2²) + ((2y) ² + 2 * 2y * 1 + 1) = (x - 2) ² + (2y + 1) ² ≥0 .

Видно, что при любых х и у сумма квадратов двух чисел всегда будет неотрицательной, по этому справедливо данное неравенство.