1. Сколько чисел среди первых тридцати натуральных чисел взаимно простых с числом 6? 2. Даны числа 24, 18 и 30. Найдите частное от деления наименьшего кратного этих чисел на их наибольший делитель 3. Сколько простых чисел меньших 50?

Единица в теории чисел считается делителем любого числа.

Все делители числа 6 это 2 и 3.

Поэтому все взаимно простые числа меньше 30, это числа не делящиеся на 2 и 3:

5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29.

Таким образом, число взаимно простых чисел равно 9.

Разложим данные числа на простые множители:

18 = 2 * 3²;

24 = 2³ * 3;

30 = 2 * 3 * 5.

Наименьшее общее кратное этих чисел:

НОК = 2³ * 3² * 5 = 360.

Наибольший общий делитель этих чисел:

НОД = 2 * 3 = 6.

НОК / НОД = 60.

Единица в теории чисел не считается простым числом.

Для поиска всех простых чисел применим стандартный метод теории чисел: решето Эратосфена.

Из всех чисел меньше 50 вычеркнем все чётные числа больше 2.

Из оставшихся чисел вычеркнем все числа больше 3, делящиеся на 3. Это числа, сумма цифр которого, делится на 3.

Из оставшихся чисел вычеркнем все числа больше 5, делящиеся на 5. Это числа, оканчивающиеся на 5.

На этом процесс заканчивается, так как среди оставшихся чисел делящихся на простое 7 и больше числа 7 нет. Кроме числа 49, но оно не простое число:

Пусть:

7 n < 50; n < 50/7 < 8; n = 7.

Все числа 7 n при n < 7 уже вычеркнуты.

Оставшиеся числа все будут простыми.

P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Всего простых чисел 15.