исследовать функцию y=x * (x-1) ^2 на монотонность.

1. Найдем стационарные точки функции:

y = x (x - 1) ^2;

y' = x * ((x - 1) ^2) ' + x' * (x - 1) ^2; y' = 2x (x - 1) + (x - 1) ^2; y' = (x - 1) (2x + x - 1); y' = (x - 1) (3x - 1); y ' = 0; [x - 1 = 0;

[3x - 1 = 0; [x = 1;

[3x = 1; [x = 1;

[x = 1/3.

2. Промежутки монотонности функции:

a) x ∈ (-∞; 1/3), y' > 0, функция возрастает; b) x ∈ (1/3, 1), y' <0, функция убывает; c) x ∈ (1; ∞), y'> 0, функция возрастает.

Ответ:

a) функция возрастает на промежутках (-∞; 1/3] и [1; ∞); b) функция убывает на промежутке [1/3; 1].