В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна h радиус вписанной окружности равен г. Найти гипотенузу.

Пусть катеты а и b, гипотенуза с.

h = ab / c;

r = ab / (a + b + c);

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2;

это нелинейная система из трех уравнений с тремя неизвестными а, b и с.

Нас интересует только с.

ab = hc;

h / r = (a + b + c) / c = (a + b) / c + 1;

(a + b) = c * (h - r) / r;

Обозначим (h - r) / r = q;

a * a + 2 ab + b * b = c * c * q * q;

c * c + 2hc = c * c * q * q;

2h = c * (q * q - 1);

c = 2h / (q * q - 1);

c = 2h * r * r / (h * h - 2hr + r * r - r * r) = 2h * r * r / (h * h - 2h * r) = 2r * r / (h - 2 * r);

Ответ: с = 2r * r / (h - 2 * r).