Высота прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки 9 см и 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, где ∠ВСА = 90º. Высота СК, проведенная к гипотенузе ВА, делит её на отрезки ВК = 9 см и КА = 16 см. Тогда:

9 + 16 = 25 (см) - длина гипотенузы ВА, так как ВА = ВК + КА;

√ (9 · 25) = 15 (см) - величина катета ВС, так как по свойству высоты, проведенной к гипотенузе, ВС² = ВК · ВА;

√ (16 · 25) = 20 (см) - величина катета АС, так как по свойству высоты, проведенной к гипотенузе, АС² = АК · ВА;

25 + 15 + 20 = 60 (см) - периметр треугольника р;

(15 · 20) : 2 = 150 (см²) - площадь треугольника S.

Чтобы найти радиус окружности r, вписанной в треугольник, воспользуемся формулой: r = 2 · S/р.

Подставим найденные значения величин в формулу и найдём радиус:

r = 2 · 150/60;

r = 5 см.

Ответ: радиус окружности r, вписанной в треугольник составляет 5 сантиметров.