Решите уравнение: 1 - 2x - x^2 = tg^2 (x+y) + ctg^2 (x+y)

Рассмотрим левую часть уравнения, добавим и отнимем 1, чтобы получилась формула сокращенного умножения:

1 - 2x - x^2 = - (x^2 + 2x) + 1 = - (x^2 + 2x + 1) + 1 + 1 = - (x + 1) ^2 + 2;

В правой части имеем:

tg^2 (x + y) + ctg^2 (x + y) = tg^2 (x + y) + 1/tg^2 (x + y);

Сделаем замену tg^2 (x + y) = t;

2 - (x + 1) ^2 = t + 1/t;

Заметим, выражение слева больше равно 2 при любом x, а справа больше равно 2 при любом t;

Значит, они оба равны 2, при этом t = 1; 1 + 1/1 = 2;

2 - (x + 1) ^2 = 2; (x + 1) ^2 = 0; x = - 1;

t = tg^2 (x + y) = 1;

1) tg (x + y) = - 1; x + y = - pi/4 + pi*k; y = 1 - pi/4 + pi*k;

2) tg (x + y) = 1; x + y = pi/4 + pi*k; y = 1 + pi/4 + pi*k;

Ответ: 1) (-1; 1 - pi/4 + pi*k); 2) (-1; 1 + pi/4 + pi*k).