На плоскости отмечены 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников в вершинами в этих точках?

1. Из любой тройки точек можно построить треугольник, т. к. никакие три не лежат на одной прямой. Следовательно, нужно посчитать количество комбинаций из 10 точек по 3.

2. Такая неупорядоченная выборка, т. е. когда последовательность выбранных элементов не имеет значения, называется сочетанием из 10 по 3. Общая формула для числа сочетаний из n по k:

C (n, k) = n! / (k! * (n - k) !).

Для количества наших треугольников получим:

С (10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (1 * 2 * 3) = 10 * 3 * 4 = 120.

Ответ: 120 треугольников.