На плоскости расположены 25 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

1. Из двух точек, естественно, треугольник не построим, из трех же точек, не лежащих на одной прямой, можно построить единственный треугольник.

2. Из четырех точек, если каждый раз уберем одну точку, то построим один треугольник, поэтому таких треугольников - четыре.

3. Постараемся понять логику составления таких комбинаций также на примере пяти точек. Пять точек делим на две группы по 2 и по 3 в каждой группе. Тогда число пар, очевидно, равно числу троек. Таким свойством обладает сочетание из n по k, для которого верно соотношение:

С (n, k) = C (n, (n - k)) = n! / (n! * (n - k) !).

К примеру:

С (5, 2) = C (5, 3) = 5! / (2! * 3!) = 5 * 4/2 = 10.

4. А для количества треугольников из 25 точек получим:

С (25, 3) = 25! / (3! * 22!) = (25 * 24 * 23) / (1 * 2 * 3) = 25 * 4 * 23 = 2300.

Ответ: 2300 треугольников.