1. f (x) = (x^2+1) (x - 1) найти f' (x) 2. Найти значение числа р, если: вектор а {-4; p}, вектор b {1; - корень из 3} и их скалярное произведение равно (-16). 3. Знаменатель дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше 1/4. Если от числителя и знаменателя первоначальной дроби отнять по 3, то значение дроби будет равно 1/12. Найти эту дробь.

Раскроем скобки в уравнении:

f (x) = x ³ - x ² + x - 1;

Найдём производную, воспользовавшись правилом: производная суммы слагаемых равна сумме производных слагаемых.

f ' (x) = (x ³ - x ² + x - 1) ' = 3 x ² - 2 x + 1.

Даны вектора: а {-4; p}, b {1; - √3},

Их скалярное произведение равно:

(a, b) = ( - 4) * 1 + p * ( - √3) = - 4 - p √3 = - 16;

p = 12/√3 = 4 √3.

Пусть дробь равна m/n.

Из первого условия следует:

n = m ² - 1.

Из второго условия следует неравенство:

(m + 2) / (n + 2) > 1/4;

4 m + 6 > n = m ² - 1;

m ² - 4 m - 7 < 0.

Из третьего условия следует:

(m - 3) / (n - 3) = 1/12;

12 m - 36 = n - 3 = m ² - 4.

Получим квадратное уравнение:

m ² - 12 m + 32 = 0;

m = 6 ± √ (36 - 32) = 6 ± 2;

m₁ = 8;

m₂ = 4.

Непосредственной подстановкой найденных выражений для m в неравенство из второго условия получаем, что ему удовлетворяет только значение m = 4, тогда n = 15.

Окончательно, дробь равна 4/15.