Натуральное число n равно произведению двух простых чисел. каждое из этих простых чисел увеличили на 1. произведение полученных чисел на 100 больше, чем число n? найдите все возможные варианты ответа и докажите, что других ответов нет.

1. Предположим, натуральное число n равно произведению простых чисел k1 и k2 (k1 ≤ k2):

n = k1k2.

2. Пусть:

N = (k1 + 1) (k2 + 1).

3. По условие задачи, выполняется равенство:

N = n + 100. (1)

4. Подставим значения n и N в уравнение (1) и преобразуем его:

(k1 + 1) (k2 + 1) = k1k2 + 100; k1k2 + k1 + k2 + 1 = k1k2 + 100; k1 + k2 = 99. (2)

5. Из уравнения (2) следует, что одно из чисел k1 и k2 четное, а другое - нечетное. Т. к. единственное четное простое число - 2, то уравнение имеет одно решение:

k1 = 2; k2 = 99 - 2 = 97 - простое число.

Ответ: 2 и 97.