Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 дает остаток 5, а при делении на 7 дает остаток 2.

Всякое натуральное число х, которое при делении на 6 дает остаток 5 можно представить в виде:

х = 6 * k + 5,

где k - некоторое целое число.

Перебирая значения k, начиная от наименьшего k = 1, будем искать наименьшее натуральное число вида 6 * k + 5, которое при делении на 7 дает остаток 2.

При k = 1 получаем х = 6 * 1 + 5 = 11. Число 11 при делении на 7 дает остаток 4.

При k = 2 получаем х = 6 * 2 + 5 = 17. Число 11 при делении на 7 дает остаток 3.

При k = 3 получаем х = 6 * 3 + 5 = 23. Число 23 при делении на 7 дает остаток 2.

Следовательно, число 23 является искомым.

Ответ: искомое число 23.

Представление числа при делении на 6 и на 7

1. Если при делении натурального числа m на 6 в остатке получаем 5, то это число можно представить в виде:

m = 6 * k + 5,

где k - целое неотрицательное число: k = 0; 1; 2; ...

2. Аналогично, если при делении натурального числа n на 7 в остатке получаем 2, то число можно представить в виде:

n = 7 * l + 2,

где l - целое неотрицательное число: l = 0; 1; 2; ...

Составление и решение уравнения

Если в качестве делимого в обоих случаях выступает одно и то же натурального число, т. е. m = n, то для нахождения искомого числа можем составить уравнение:

m = n; 6 * k + 5 = 7 * l + 2; 6 * k + 5 - 2 = 7 * l; 7 * l = 6 * k + 3; 7 * l = 3 * (2 * k + 1). (1)

Из уравнения (1) следует, что произведение 7 * l делится на 3. Поскольку 7 - простое число, то можем утверждать, что l делится на 3.

С другой стороны, в правой части уравнения имеем нечетное число, т. к. произведение нечетных чисел 3 и (2 * k + 1) дает нечетное число. Следовательно, l - нечетное число, т. е. не делится на 2. А если число не делится на 2, но делится на 3, то его можно представить в виде:

l = 6 * p + 3, (2)

где p - целое неотрицательное число, т. е. p = 0; 1; 2; ...

Наименьшее значение для искомого числа

Для того, чтобы найти наименьшее значение для l, подставим вместо p наименьшее возможное значение:

p = 0;

l = 6 * p + 3 = 6 * 0 + 3 = 3, отсюда

m = n = 7 * l + 2 = 7 * 3 + 2 = 23.

Проверим полученный результат:

23 = 7 * 3 + 2;

23 = 6 * 3 + 5.

Ответ: 23.