Доказать тождества: 1) 1 - tg^2 x = (cos2x) / (cos^2 x) 2) ctg^2 x - 1 = (cos2x) / (sin^2 x)

Решение:

1. В обоих случаях используем известную формулу косинуса двойного угла cos2x = cos^2 x - sin^2 x:

1) 1 - tg^2 x = (cos2x) / (cos^2 x);

1 - tg^2 x = (cos^2 x - sin^2 x) / (cos^2 x);

в правой части в числителе каждое значение поделим на знаменатель по отдельности:

1 - tg^2 x = 1 - (sin^2 x) / (cos^2 x);

а мы знаем, что tgx = sinx / cosx, тогда:

1 - tg^2 x = 1 - tg^2 x - тождество верно;

2) ctg^2 x - 1 = (cos2x) / (sin^2 x);

ctg^2 x - 1 = (cos^2 x - sin^2 x) / (sin^2 x);

в правой части в числителе каждое значение поделим на знаменатель по отдельности:

ctg^2 x - 1 = (cos^2 x) / (sin^2 x) - 1;

а ctgx = cosx / sinx, тогда:

ctg^2 x - 1 = ctg^2 x - 1 - тождество верно.

Ответ: оба тождества верны.