Найдите наименьшее значение значение функции f (x) = x^3-3x^2-9x+31 на отрезке [-1; 4]

Найдем производную функции.

f (x) = x³ - 3x² - 9x + 31.

f' (x) = 3 х² - 6 х - 9.

Приравняем производную к нулю.

3 х² - 6 х - 9 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = - 6; c = - 9;

D = b^2 - 4ac; D = (-6) ² - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144 (√D = 12);

x = (-b ± √D) / 2a;

х¹ = (6 - 12) / (2 * 3) = - 6/6 = - 1.

х² = (6 + 12) / 6 = 18/6 = 3.

Определяем знаки производной на каждом промежутке. Производная является квадратичной параболой, значит знаки производной будут:

(-∞; - 1) производная (+), функция возрастает.

(-1; 3) производная (-), функция убывает.

(3; + ∞) производная (+), функция возрастает.

Точка - 1 - это точка максимума функции (не входит в промежуток [-1; 4]).

Точка 3 - это точка минимума функции (входит в промежуток [-1; 4]).

Вычислим наименьшее значение функции:

х = 3; у = x³ - 3x² - 9x + 31 = 3³ - 3 * 3² - 9 * 3 + 31 = 27 - 27 - 27 + 31 = 4.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке [-1; 4] равно 4.