4 сентября, 10:29

Вычислить S (сумму) ∑ 1/n (n+1) (n+2)

+3
Ответы (1)
  1. 4 сентября, 12:08
    0
    Предположим, что 1 / n * (n + 1) * (n + 2) разлагается на слагаемые:

    1 / n * (n + 1) * (n + 2) = A / n + B / (n + 1) + C / (n + 2).

    Найдем такие A, B и С, чтобы разложение стало верным.

    Умножим обе части уравнения на n * (n + 1) * (n + 2):

    1 = (n + 1) * (n + 2) * A + n * (n + 2) * B + n * (n + 1) * C,

    1 = n^2 * (A + B + C) + n * (3 * A + 2 * B + C) + 2 * A.

    Сравнивая значения коэффициентов получаем:

    2 * A = 1, A + B + C = 0, 3 * A + 2 * B + C = 0. Откуда:

    A = 1/2, B = - 1, C = 1/2.

    Получили разложение:

    1 / n * (n + 1) * (n + 2) = (1 / 2) * 1 / n - 1 / (n + 1) + (1 / 2) * 1 / (n + 2) =

    = ( - 1 / 2) * (1 / (n + 1) - 1 / n) + (1 / 2) * (1 / (n + 2) - 1 / (n + 1)).

    Выписав все члены суммы и проведя сокращения, для N членов получаем:

    ∑ 1 / n * (n + 1) * (n + 2) = 1 / 2 - 1 / 2 * (N + 1) + 1 / 2 * (N + 2) - 1 / 4 =

    = 1 / 4 - 1 / 2 * (N + 1) + 1 / 2 * (N + 2).
Знаешь ответ на этот вопрос?