Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если b2=4 и b4=1.

Найдем первый член b1 и знаменатель q данной геометрической прогрессии.

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * qn - 1, при n = 2 и n = 4, можем записать следующие соотношения:

b1 * q = 4,

b1 * q³ = 1.

Решаем полученную систему уравнений.

Разделив второе уравнение на первое, получаем:

b1 * q³ / (b1 * q) = 1/4;

q² = 1/4;

q1 = - 1/2;

q2 = 1/2.

Находим b1.

При q = - 1/2:

b1 = 4 / q = 4 / (-1/2) = - 8.

При q = 1/2:

b1 = 4 / q = 4 / (1/2) = 8.

Используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - qⁿ) / (1 - q) при n = 6, находим сумму первых 6 членов данной геометрической прогрессии.

При q = - 1/2:

S6 = (-8) * (1 - (-1/2) 6) / (1 - (-1/2)) = (-8) * (1 - (1/2) 6) / (1 + 1/2) = (-8) * (1 - 1/64) / (3/2) = (-8) * (63/64) / (3/2) = (-8) * (63/64) * (2/3) = - 21/4 = - 5.25.

При q = 1/2:

S6 = 8 * (1 - (1/2) 6) / (1 - 1/2) = 8 * (1 - 1/64) / (1/2) = 8 * (63/64) * 2 = 63/16 = 3.9375.

Ответ: сумма первых 6 членов данной геометрической прогрессии может принимать два значения: - 5.25 и 3.9375.