Решите уравнения cos2x=cos6x

Для решения представим 6x как 3 * 2x и воспользуемся формулой косинуса тройного угла. Получим:

cos 2x = cos (3 * 2x) = 4 * cos³ 2x - 3 * cos 2x, отсюда 4 * cos³ 2x - 4 cos 2x = 0.

То есть 4 * cos 2x * (cos² 2x - 1) = 0.

Выражение верно при cos 2x = 0 или при cos² 2x - 1 = 0.

В первом случае 2x = Пи / 2 + Пи * n, где n - целое. То есть x = Пи / 4 + Пи * n / 2, n ∈ Z.

Во втором случае cos² 2x = 1. То есть cos 2x = ±1, следовательно, 2x = ±arccos (±1) + 2 * Пи * k = ±Пи + 2 * Пи * k, где k ∈ Z. Следовательно, 2x = Пи * n, где n ∈ Z, отсюда x = Пи * n / 2, n ∈ Z.

Ответ: x1 = Пи / 4 + Пи * n / 2; x2 = Пи * n / 2, n ∈ Z.