1. Решите уравнения: 1) 8cos²x+6sinx=3 2) cos²2x+cos6x=sin²2x 3) cos^4 2x-sin^4 2x=√3/2 4) 4sin²x-8sinxcosx+10cos²x=3 5) 1+cosx+cos2x=0 2. Решите неравенство: sin (3/2π+x) >-0,5

1.

1) Так как

cos ² x = 1 - sin ² x,

то подставив это значение в уравнение получим квадратное уравнение от sin x:

8 sin ² x - 6 sinx - 5 = 0.

sin ² x = (3 ± √ (9 + 40)) / 8 = 3 ± 7) / 8.

sinx = 10/8 > 1. Решения не существует.

sinx = - 1/2.

x₁ = - pi/6;

x₂ = pi + pi/6.

2) Перегруппируем члены:

(cos ² x - sin ² x) + cos 6 x = 0.

В скобках косинус двойного угла:

cos 2 x + cos 6 x = 0.

Применим формулу сложения косинусов:

2 cos 4 x cos 2 x = 0.

cos 4 x = 0;

4 x₁ = pi/2 + pi k;

x₁ = pi/8 + pi/4 k;

cos 2 x = 0;

2 x₂ = pi/2 + pi k;

x₂ = pi/4 + pi/2 k.

3) Разложим левую часть как разность квадратов:

(cos ² 2 x + sin ² 2 x) (cos ² 2 x - sin ² 2 x) = √3/2.

Первая скобка равна тождественно единице. Во второй скобке косинус двойного угла.

cos 4 x = √3/2.

arcos √3/2 = pi/6;

4 x₁ = pi/6 + 2 pi k;

x₁ = pi/24 + pi/2 k;

4 x₂ = pi - pi/6 + 2 pi k;

x₂ = pi/4 - pi/24 + pi/2 k.

4) Преобразуем уравнение:

4 sin ² x - 8 sin x cos x + 10 cos ² x = 3 (cos ² x + sin ² x)

sin ² x - 8 sin x cos x + 7 cos ² x.

Разделим обе части уравнения на cos ² x:

tg ² x - 8 tg x + 7 = 0;

tg x₁ = 4 ± √ (16 - 7) = 4 ± 3;

tg x₁ = 7;

x₁ = arctg 7 + pi k;

tg x₂ = 1;

x₂ = pi/4 + pi k.

5) Развернём косинус двойного угла по формуле:

1 + cos x + cos ² x - sin ² x = 0;

(1 - sin ² x) + cos x + cos ² x = 0;

cos x + 2 cos ² x = 0;

cos x (1 + 2 cos x) = 0;

cos x₁ = 0;

x₁ = pi/2 + pi k;

cos x₂ = - 1/2;

x₂ = pi ± pi/6.

2. Так как по формулам приведения:

sin (3/2 pi + x) = - cos x,

то получим неравенство:

- cos x > - 0,5;

cos x < 0,5 = cos pi/3;

pi/2 + 2 pi k ≥ x > pi/3 + 2 pi k.