Решить уравнение cosx*cos7x=1

1. Рассмотрим косинусы суммы и разности двух углов:

cos (a - b) = cosa * cosb + sina * sinb; (1) cos (a + b) = cosa * cosb - sina * sinb. (2)

2. Сложив уравнения (1) и (2), получим:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2cosa * cosb. (3)

3. Воспользовавшись формулой (3), преобразуем заданное тригонометрическое уравнение:

cosx * cos7x = 1; 2cosx * cos7x = 2; cos (7x + x) + cos (7x - x) = 2; cos8x + cos6x = 2.

4. Наибольшее значение суммы косинусов равно двум и достигается при условии:

{cos8x = 1;

{cos6x = 1; {8x = 2πk, k ∈ Z;

{6x = 2πk, k ∈ Z; {x = πk/4, k ∈ Z;

{x = πk/3, k ∈ Z.

Ответ: πk/4; πk/3, k ∈ Z.