0.5log3 (-x-16) - log3 (корень - Х корень закрывается - 4) = 1

В задании дано логарифмическое уравнение 0,5 * log₃ (-x - 16) - log₃ (√ (-х) - 4) = 1. Однако, какое-либо требование в нём, отсутствует. Решим данное уравнение. Прежде всего, найдём область допустимых значений функции у = 0,5 * log₃ (-x - 16) - log₃ (√ (-х) - 4), другими словами, найдём множество, для элементов которых данное уравнение имеет смысл. Согласно определения логарифма должны выполняться неравенства - x - 16 > 0 и √ (-х) - 4 > 0. Кроме того, согласно определения арифметического квадратного корня, - х ≥ 0. Нетрудно убедиться, что все эти неравенства выполнятся если х ∈ (-∞; - 16). Обе части данного уравнения умножим на 2 и применим ко второму логарифму формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число. Тогда имеем: log₃ (-x - 16) - log₃ ((√ (-х) - 4) ²) = 2 или log₃ (-x - 16) = 2 + log₃ ((√ (-х) - 4) ²). Учитывая, что 2 = log₃3² = log₃9 и применяя формулу log_a (b * с) = log_ab + log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, перепишем последнее уравнение в виде log₃ (-x - 16) = log₃ (9 * (√ (-х) - 4) ²). Если х ∈ (-∞; - 16), то справедливо равенство - x - 16 = 9 * (√ (-х) - 4) ². Введём новую переменную у = √ (-х). Тогда у² = - х. Следовательно, имеем: у² - 16 = 9 * (у - 4). Применяя формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), раскроем скобки в правой части последнего равенства. Имеем: (у - 4) ² = у² - 2 * у * 4 + 4² = у² - 8 * у + 16. Следовательно, у² - 16 = 9 * (у² - 8 * у + 16) или 9 * у² - 72 * у + 144 - у² + 16 = 0, откуда у² - 9 * у + 20 = 0. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем его дискриминант D = (-9) ² - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1. Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: у₁ = (9 - √ (1)) / 2 = 4 и у₂ = (9 + √ (1)) / 2 = 5. При у = 4, имеем: √ (-х) = 4, откуда х = - 16. Однако, поскольку - 16 ∉ (-∞; - 16), то х = - 16 не является решением данного уравнения. Другими словами, у = 4 - побочный корень. Пусть у = 5. Тогда √ (-х) = 5, откуда х = - 25. Поскольку - 25 ∈ (-∞; - 16), то х = - 25 является единственным решением данного уравнения.

Ответ: х = - 25.