Докажите что при любом целом значении b выражение b^3 + 47b делится на 6

Рассмотрим данное выражение:

b^3 + 47 * b = b * (b^2 + 47).

Любое целое число b может быть представлено, как:

b = 6 * n + r, где r - остаток от деления b на 6. Тогда:

b * (b^2 + 47) = (6 * n + r) * ((6 * n + r) ^2 + 47) =

= (6 * n + r) * (36 * n^2 + 12 * n * r + r^2 + 47) =

= 6 * n * (36 * n^2 + 12 * n * r + r^2 + 47) + r * (36 * n^2 + 12 * n * r) + r^3 + 47 * r =

= 6 * n * (36 * n^2 + 12 * n * r + r^2 + 47) + 6 * r * (6 * n^2 + 2 * n * r) + r^3 + 47 * r.

При r = 0, исходное выражение делится на 6.

При r = 1, r^3 + 47 * r = 48 делится на 6, а значит, и исходное выражение делится на 6.

При r = 2, r^3 + 47 * r = 102 делится на 6, а значит, и исходное выражение делится на 6.

При r = 3, r^3 + 47 * r = 168 делится на 6, а значит, и исходное выражение делится на 6.

При r = 4, r^3 + 47 * r = 252 делится на 6, а значит, и исходное выражение делится на 6.

При r = 5, r^3 + 47 * r = 360 делится на 6, а значит, и исходное выражение делится на 6.

Утверждение доказано.