Меньший катет прямоугольного треугольника с острым углом 60 °равен 2 см. найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B.

Пусть угол A = BAC = 60°.

Тогда имеем:

AB = AC * cos (60°) = 1/2 * AC,

BC = AC * sin (60°) = √3/2 * AC.

Так как AB = 1/2 * AC < √3/2 * AC = BC, то катет AB является меньшим катетом.

Тогда, по условию задачи, AB = 2 см. Следовательно,

AC = 2 * AB = 2 * 2 = 4 см и

BC = √3/2 * AC = √3/2 * 4 = 2 * √3 см.

Зная длины катетов, подсчитаем площадь S треугольника ABC:

S = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 2 * 2 * √3 = 2 * √3.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле:

S = 1/2 * P * r, где P - периметр треугольника ABC, а r - радиус вписанной окружности.

Вычислим периметр треугольника ABC:

P = AB + BC + AC = 2 + 2 * √3 + 4 = 6 + 2 * √3 = 2 * (3 + √3).

Следовательно, имеем:

S = 2 * √3 = 1/2 * P * r = 1/2 * 2 * (3 + √3) * r,

r = 2 * √3 / (3 + √3) = 2 / (√3 + 1) = 2 * (√3 - 1) / (√3 + 1) * (√3 - 1) =

= 2 * (√3 - 1) / 2 = √3 - 1.

Ответ: радиус вписанной окружности в треугольник ABC равен √3 - 1.