Окно открыли в 2 часа дня. За первый час в комнату влетел 1 комар, за второй - еще 1 комар, за третий час-2 комара и т. д. За каждый последующий час в окно влетало столько комаров, сколько за все предыдущие. В 9 часов окно закрыли, но спать в этой комнате было невозможно. Сколько в ней было комаров?

1. Обозначим количество комаров, взлетевших в комнату за n-й час, через an, а количество комаров, взлетевших за первых n часов, через Sn. Тогда:

a1 = 1; S1 = 1; a2 = S1 = 1; S2 = S1 + a2 = 1 + 1 = 2; a3 = S2 = 2; S3 = S2 + a3 = 2 + 2 = 4, и т. д. an+1 = Sn; Sn+1 = Sn + an+1 = 2Sn.

2. Следовательно, Sn составляет геометрическую прогрессию с первым членом S1 = 1 и знаменателем q = 2:

Sn = S1 * q^ (n - 1); Sn = 2^ (n - 1).

3. Между 2 ч. дня и 9 ч. вечера - 7 полных часов, значит в комнату взлетело:

S7 = 2^ (7 - 1) = 2^6 = 64 комара.

Ответ: 64 комара.