1) найлите сумму шестидесяти первых четных натуральных чисел 2) в геометрической прогрессии b4-b2=24, b5-b1=80, q>1, Sn=364,5. найти q, b1, n.

1. a₁ = 2; d = 2; n = 60.

По формуле S_n = (2a₁ + d (n - 1)) * n / 2 найдем S₆₀:

S₆₀ = (2 * 2 + 2 (60 - 1)) * 690 / 2 = (2 + 59) * 60 = 61 * 60 = 3660.

Ответ: S₆₀ = 3660.

2. По формуле общего члена геометрической прогрессии b_n = b₁q^{n - 1} найдем b₁ и q:

b₄ - b₂ = 24;

b₁q³ - b₁q = 24;

b₁q (q² - 1) = 24;

b₁q (q - 1) (q + 1) = 24.

b₅ - b₁ = 80;

b₁q⁴ - b₁ = 80;

b₁ (q⁴ - 1) = 80;

b₁ (q² - 1) (q² + 1) = 80;

b₁ (q + 1) (q - 1) (q² + 1) = 80.

Разделим уравнение b₁ (q + 1) (q - 1) (q² + 1) = 80 на b₁q (q - 1) (q + 1) = 24.

(q² + 1) / q = 80/24;

q² + 1 = 10/3 * q;

3q² - 10q + 3 = 0.

D = 100 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64.

q₁ = (10 - 8) / 6 = 2/6 = 1/3 (не подходит, т. к. не удовлетворяет условию q > 1).

q₂ = (10 + 8) / 6 = 18/6 = 3.

b₁ * 3 * (3² - 1) = 24;

b₁ = 24 / (3 * 8) = 1.

Применим формулу S_n = b₁ (qⁿ - 1) / (q - 1) для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии и найдем n:

364 = 1 * (3ⁿ - 1) / (3 - 1);

364 = (3ⁿ - 1) / 2;

3ⁿ - 1 = 728;

3ⁿ = 729;

3ⁿ = 3⁶;

n = 6.

Ответ: q = 3, b₁ = 1, n = 6.