1. Дана геометрическая прогрессия (bn) : 1. Дана геометрическая прогрессия (bn) : - 2; 1/2; - 1/8; ... Найдите номер члена, равного - 1/20482. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b5=8 и b9=8/813. Найдите произведение значений x, при которых значения выражений 3x+6, 5x-4 и x+1 являются последовательными членами геометрической прогрессии. 4. Банк выплачивает 8% годовых. Какова будет величина вклада в 4000 рублей через: а) 3 годаб) n лет.

1. b ₁ = - 2; b ₂ = 1/2; b ₃ = - 1/8.

Т. к. b ₂ = b ₁ q найдем знаменатель прогрессии:

1/2 = - 2q;

q = 1/2 : ( - 2) = - 1/4.

Т. к. b _n = b ₁ q ^{n - 1} найдем n, для которого b _n = - 1/2048:

- 2 * ( - 1/4) ^{n - 1} = - 1/2048;

( - 1/4) ^{n - 1} = 1/2048 : 2;

( - 1/4) ^{n - 1} = 1/4096;

( - 1/4) ^{n - 1} = ( - 1/4) ⁶;

n - 1 = 6;

n = 7.

2. b ₅ = 8; b ₉ = 8/81.

b ₅ = b ₁ q ⁴; b ₉ = b ₁ q ⁸.

Разделим девятый член прогрессии на пятый:

8/81 : 8 = b ₁ q ⁸ / b ₁ q ⁴;

q ⁴ = 1/81 = (1/3) ⁴;

q = 1/3.

b ₇ = b ₅ q ² = 8 * 1/3 ² = 8/9.

Ответ: b ₇ = 8/9.

3. Пусть b _{n - 1} = 3x + 6; b _n = 5x - 4; b _{n + 1} = x + 1.

Тогда q = b _n / b _{n - 1} = b _{n + 1} / b _n.

(5x - 4) / (3x + 6) = (x + 1) / (5x - 4).

(5x - 4) / (3x + 6) - (x + 1) / (5x - 4) = 0.

((5x - 4) (5x - 4) - (x + 1) (3x + 6)) / (3x + 6) (5x - 4) = 0;

Отбросим знаменатель, при условии, что х ≠ - 2, х ≠ 4/5.

(5x - 4) (5x - 4) - (x + 1) (3x + 6) = 0;

25 х ² - 40 х + 16 - (3 х ² + 6 х + 3 х + 6) = 0;

25 х ² - 40 х + 16 - 3 х ² - 9 х - 6 = 0;

22 х ² - 49 х + 10 = 0.

По теореме Виета х ₁ х ₂ = 10/22 = 5/11.

Ответ: 5/11.

4. Найдем сумму вклада через 3 года, применив формулу сложных процентов:

S = x (1 + y/100) ⁿ, где х = 4000 рублей, у = 8 %, n = 3 года.

S = 4000 (1 + 0,08) ³ = 4000 * 1,259712 = 5038,85 (руб.)

Через n лет сумма вклада будет составлять:

S = 4000 (1 + 0,08) ⁿ.