Если ни одно из целых чисел c и d не кратно 3, то что даёт в остатке сумма их квадратов при делении на 3?

Если оба данных числа не являются кратными 3, то каждое из этих чисел делится на 3 либо с остатком 1, либо с остатком 2.

Рассмотрим три случая.

1) Оба данных числа делятся на 3 с остатком 1.

Следовательно, данные числа можно представить в виде 3k + 1 и 3n + 1, где k и n - некоторые целые числа.

Найдем, сумму квадратов данных чисел:

(3k + 1) ² + (3n + 1) ² = 9k² + 6k + 1 + 9n² + 6n + 1 = 3 * (3k² + 3n² + 2k + 2n) + 2

Следовательно, сумма квадратов данных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.

2) Оба данных числа делятся на 3 с остатком 2.

Следовательно, данные числа можно представить в виде 3k + 2 и 3n + 2, где k и n - некоторые целые числа.

Найдем, сумму квадратов данных чисел:

(3k + 2) ² + (3n + 2) ² = 9k² + 12k + 4 + 9n² + 12n + 4 = 3 * (3k² + 3n² + 4k + 4n + 2) + 2

Следовательно, сумма квадратов данных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.

3) Одно из данных чисел делится на 3 с остатком 1, а второе число делится на 3 с остатком 2.

Следовательно, данные числа можно представить в виде 3k + 1 и 3n + 2, где k и n - некоторые целые числа.

Найдем, сумму квадратов данных чисел:

(3k + 1) ² + (3n + 2) ² = 9k² + 6k + 1 + 9n² + 12n + 4 = 3 * (3k² + 3n² + 2k + 4n + 1) + 2

Следовательно, сумма квадратов данных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.

Таким образом, во всех случаях сумма квадратов данных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.

Ответ: сумма квадратов данных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.