Решите уравнение log2 (x) + logx (2) = 2,5

1. Воспользуемся свойством логарифма и заменим один из логарифмов на новое основание:

log ₂ х + log _х 2 = 2,5;

log _х 2 = (log ₂ 2) / (log ₂ х) = 1 / (log ₂ х);

log ₂ х + 1 / (log ₂ х) = 2,5;

2. Выполним замену:

log ₂ х = у;

у + 1/у = 2,5;

у + 1/у - 2,5 = 0;

у² - 2,5y + 1 = 0;

3. Решим квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = ( - 2,5) ² - 4 * 1 * 1 = 6,25 - 4 = 2,25;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (2,5 - √2,25) / 2 * 1 = (2,5 - 1,5) / 2 = 1/2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2,5 + √2,25) / 2 * 1 = (2,5 + 1,5) / 2 = 4 / 2 = 2;

4. Подставим значения и найдем х:

log ₂ х = у;

1) Если у1 = 1/2, то:

log ₂ х = 1/2;

log ₂ х = 1/2log ₂ 2;

log ₂ х = log ₂ 2 ^1/2;

Из равенства основания логарифмов следует:

х = 2 ^1/2;

х1 = √2;

2) Если у2 = 2, то:

log ₂ х = 2;

log ₂ х = 2log ₂ 2;

log ₂ х = log ₂ 2 ²;

Из равенства основания логарифмов следует:

х = 2 ²;

х2 = 4;

Ответ: х1 = √2, х2 = 4.