Вероятность хотя бы одного попадания при трёх выстрелах из ружья по мишени равна 65,7%. Какова вероятность хотя бы одного попадания при 4-х выстрелах? Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания составила не менее 99%?

Пусть q - вероятность промаха при очередном выстреле.

1. Допустим, из ружья выстрелили трижды.

Будем считать, что событие E произойдет, если ни один из трех выстрелов не окажется удачным.

P (E) = q^3.

Противоположное событие Ē произойдет, если как минимум один из трех выстрелов окажется удачным.

P (Ē) = 1 - P (E) = 1 - q^3.

А из условия следует, что P (Ē) = 65,7%. Составим уравнение.

1 - q^3 = 0,657;

q^3 = 1 - 0,657;

q^3 = 0,343;

q = 0,7.

2. Допустим, из ружья выстрелили четыре раза.

Будем считать, что событие G произойдет, если ни один из четырех выстрелов не окажется удачным.

P (G) = q^4 = 0,7^4 = 0,2401.

Противоположное событие Ḡ произойдет, если как минимум один из четырех выстрелов окажется удачным.

P (Ḡ) = 1 - P (G) = 1 - 0,2401 = 0,7599 = 75,99%.

3. Допустим, из ружья выстрелили n раз.

Будем считать, что событие Y произойдет, если ни один из n выстрелов не окажется удачным.

P (Y) = q^n = 0,7^n.

Противоположное событие Ῡ произойдет, если как минимум один из n выстрелов окажется удачным.

P (Ῡ) = 1 - P (Y) = 1 - 0,7^n.

Надо найти значения n, при которых P (Ῡ) > 99%. Составим неравенство.

1 - 0,7^n > 0,99;

0,7^n < 1 - 0,99;

0,7^n < 0,01.

Для начала решим уравнение:

0,7^n = 0,01;

n = log_0,7 0,01;

n ≈ 12,91.

Вернемся к неравенству. Чем больше значение n, тем меньше значение 0,7^n. Значит, n > 12,91.

Число n должно быть натуральным, ведь n - это количество выстрелов. Значит, n ⩾ 13.

Итак, нужно сделать не менее тринадцати выстрелов.

Ответ: 75,99 процентов; не менее тринадцати выстрелов.