Найдите корень уравнения (1/2) ^3x+2=16

Найдем корень уравнения (1/2) ^ (3 * x + 2) = 16

При нахождении корня уравнения используем свойства степеней:

a ^ ( - n) = 1/a ^ n; (a ^ x) ^ y = a ^ (x + y); a ^ x * a ^ y = a ^ (x + y); a ^ x/a ^ y = a ^ x/a ^ y;

То есть получаем:

(1/2) ^ (3 * x + 2) = 16;

(2 ^ ( - 1)) ^ (3 * x + 2) = 2 ^ 4;

2 ^ ( - 1 * (3 * x + 2)) = 2 ^ 4;

2 ^ ( - (3 * x + 2)) = 4;

Так как, основания равны, то приравниваются их степени. То есть получаем:

- (3 * x + 2) = 4;

Раскрываем скобки. Так как, перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. То есть получаем:

- 3 * x - 2 = 4;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

- 3 * x - 2 - 4 = 0;

- 3 * x - 6 = 0;

3 * x + 6 = 0;

Получили линейное уравнение в виде 3 * x + 6 = 0

Для того, чтобы решить уравнение, определим какие свойства имеет уравнение:

Уравнение является линейным, и записывается в виде a * x + b = 0, где a и b - любые числа; При a = b = 0, уравнение имеет бесконечное множество решений; Если a = 0, b ≠ 0, уравнение не имеет решения; Если a ≠ 0, b = 0, уравнение имеет решение: x = 0; Если, а и b - любые числа, кроме 0, то корень находится по следующей формуле x = - b/a.

Так как, a = 3 и b = 6, тогда находим корень уравнения по формуле x = - b/a.

x = - (6) / 3;

Раскрываем скобки. Так как, перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. То есть получаем:

x = - 6/3;

x = - 2;

Значит, х = - 2 является корнем уравнения (1/2) ^ (3 * x + 2) = 16.

(1/2) ^ (3x + 2) = 16 - надо сделать так, чтобы и в левой, и в правой частях уравнения основания степеней были одинаковыми; для этого представим число 16 в виде степени с основанием 1/2; 16 = (1/2) ^ ( - 4);

(1/2) ^ (3x + 2) = (1/2) ^ ( - 4) - степени с одинаковым основанием будут равны в том случае, если у них будут равны показатели степеней;

3x + 2 = - 4;

3x = - 4 - 2;

3x = - 6;

x = - 6 : 3;

x = - 2.

Ответ. - 2.