В трапеции ABCD продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке F. а) Докажите, что треугольник BFC и AFD подобны. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AB:BF=3:1, а площадь треугольника BFC равна 2 см в квадрате

а) Рассмотрим треугольники BFC и AFD: угол F общий, угол FBC = углу FAD (соответственные углы при параллельных ВС и АD и секущей АВ). Значит, треугольники подобны (по двум углам).

б) AB относится к BF как 3 к 1, обозначим AB как 3 х, а BF как х.

Вычислим коэффициент подобия треугольников BFC и AFD:

k = АF/BF. AF = AB + BF = 3x + x = 4x. k = 4x/x = 4.

Выразим площадь треугольника FBC: S_FBC = 1/2 * BC * h.

Так как коэффициент подобия равен 4, сторона АD будет равна 4BC, а высота треугольника AFD будет равна 4h.

Выразим площадь треугольника AFD: S_AFD = 1/2 * 4BC * 4h = 16 * (1/2 * BC * h).

То есть площадь треугольника AFD в 16 раз больше площади треугольника FBC, S_AFD = 2 * 16 = 32 см².

Площадь трапеции равна разности площадей треугольников AFD и FBC.

S_ABCD = 32 - 2 = 30 см².