Известно что около четырехугольника abcd можно описать окружность и что продолжения сторон ab и cd четырехугольника пересекабтся в точке М. докажите, что треугольники МВС и МDА подобны

Рассмотрим четырёхугольнике ABCD.

Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Тогда углы A = BAD и C = BCD опираются на дуги, составляющие вместе всю окружность. Следовательно:

A + C = BAD + BCD = 180°.

Аналогично можно показать, что:

B + D = ABC + CDA = 180°.

Заметим, что смежные углы:

BCD + MCB = 180°,

ABC + MBC = 180°.

Следовательно, имеем:

BAD = 180° - BCD = MCB,

CDA = 180° - ABC = MBC.

Отсюда вытекает, что у треугольников MBC и MDA один угол общий и два других угла равны друг другу. Следовательно, эти треугольники подобны друг другу по трём углам.