В правильной четырех угольной пирамиде высота 12 см, апофема равна 15 см. Найдите объем пирамиды

Апофема, высота пирамиды и отрезок, соединяющий их в плоскости основания пирамиды, составляют между собой прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой. Обозначим отрезок соединяющий апофему и высоту через a, тогда по теореме Пифагора:

a = √ (h² - H²), где h - апофема пирамиды, H - ее высота.

Найдем нужный нам отрезок:

a = √ (15² - 12²) = √ (225 - 144) = √81 = 9 см.

Объем пирамиды равен:

V = 1/3 * Sосн * H, где Sосн - площадь основания.

Основанием правильной прямоугольной пирамиды является квадрат, а его площадь равна:

Sосн = b², где b - сторона квадрата.

Сторона квадрата в 2 раза больше отрезка соединяющего апофему и высоту пирамиды, то есть

b = 2a.

Найдем ее:

b = 2 * 9 = 18 см.

Теперь найдем площадь основания:

Sосн = 18² = 324 см².

Наконец, мы можем найти объем пирамиды:

V = 1/3 * 324 * 12 = 1296 см³.

Ответ: объем правильной четырехугольной пирамиды равен 1296 см³.