Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если апофема образует с высотой пирамиды угол 30 градусов, а сторона основания пирамиды равна 12 см.

Пусть ЕМРКН - правильная четырехугольная пирамида (Е - вершина, МРКН - основание). ЕС - апофема (С принадлежит МР). О - точка пересечения диагоналей основания. Угол СЕО равен 30°.

Рассмотрим треугольник ЕОС: угол О = 90° (ЕО в правильной пирамиде является высотой пирамиды), СО = 1/2 РК = 6 см, угол СЕО = 30°.

Выразим тангенс угла СЕО: tgСЕО = СО/ЕО.

tg30° = 1/√3.

1/√3 = 6/ЕО; ЕО = 6√3 (см).

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

V = 1/3 * S_осн * h.

Высоту пирамиды мы нашли: h = ЕО = 6√3 см.

Вычислим площадь основания: S_осн = 12 * 12 = 144 (см²).

Отсюда находим объем пирамиды:

V = 1/3 * 144 * 6√3 = 288√3 (см³).