Докажите тождествоcos^2 (a-b) - sin^2 (a+b) = cos2a*cos2b

Чтобы доказать тождество, воспользуемся тригонометрическими формулами понижения степени.

sin² (x) = (1 - cos (2x)) / 2;

cos² (x) = (1 + cos (2x)) / 2.

cos² (α - β) - sin² (α + β) = (1 + cos (2α - 2β)) / 2 - (1 + cos (2α + 2β)) / 2.

Используем теперь тригонометрические формулы косинуса разности и косинуса суммы двух углов:

cos (α - β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ;

cos (α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

(1 + cos (2α - 2β)) / 2 - (1 + cos (2α + 2β)) / 2 =

= [1 + cos (2α) * cos (2β) + sin (2α) * sin (2β) - 1 + cos (2α) * cos (2β) - sin (2α) * sin (2β) ]/2 =

= 2cos (2a) * cos (2β) / 2 = cos (2a) * cos (2β) - тождество доказано.