cos2t-cos4t-cos6t+cos8t

В задании дано тригонометрическое выражение, которого обозначим через Т. Однако, сопровождающее требование к нему отсутствует. По всей видимости, составители задания хотели упростить данное выражение или же представить его как произведение множителей. Прежде всего, перепишем данное выражение в виде Т = (cos (8 * t) + cos (2 * t)) - (cos (6 * t) + cos (4 * t)). Применим к обеим выражениям (суммам) в скобках формулу cosα + cosβ = 2 * cos (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма косинусов). Тогда, имеем: Т = 2 * cos (½ * (8 * t + 2 * t)) * cos (½ * (8 * t - 2 * t)) - 2 * cos (½ * (6 * t + 4 * t)) * cos (½ * (6 * t - 4 * t)) = 2 * cos (5 * t) * cos (3 * t) - 2 * cos (5 * t) * cost. Очевидно, что в последнем выражении множитель 2 * cos (5 * t) можно вынести за скобки: Т = 2 * cos (5 * t) * (cos (3 * t) - cost). К разности косинусов (в скобках) применим формулу cosα - cosβ = - 2 * sin (½ * (α + β)) * sin (½ * (α - β)) (разность косинусов). Тогда данное выражение примет вид Т = 2 * cos (5 * t) * (-2 * sin (½ * (3 * t + t)) * sin (½ * (3 * t - t))) = - 4 * cos (5 * t) * sin (2 * t) * sint.

Ответ: - 4 * cos (5 * t) * sin (2 * t) * sint.