Найти sin2 альфа, если sinальфа+cosальфа=корню из 3

Выразим из уравнения по условию синус через косинус:

sin a + cos a = √3;

sin a = √3 - cos a.

Рассмотрим правую часть уравнения:

√3 ~ 1,42;

cos a < = 1;

Следовательно, √3 - cos a > 0, а значит и sin a > 0.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

sin² a = (√3 - cos a) ^2;

sin² a = 3 - 2√3 * cos a + cos² a.

Произведем замену sin² a используя формулу sin² z + cos² z = 1. Тогда получаем:

sin² a = 3 - 2√3 * cos a + cos² a;

1 - cos² a = 3 - 2√3 * cos a + cos² a;

3 - 2√3 * cos a + cos² a - (1 - cos² a) = 0;

3 - 2√3 * cos a + cos² a - 1 + cos² a = 0;

2cos² a - 2√3 * cos a + 2 = 0.

Сократим все выражение на 2:

2cos² a - 2√3 * cos a + 2 = 0;

cos² a - √3 * cos a + 1 = 0.

Пусть cos a = t. Тогда:

t² a - √3 * t + 1 = 0.

Найдем корни с помощью дискриминанта.

D = (√3) ^2 - 4 * 1 * 1 = 3 - 4 = - 1.

Мы получили, что D = - 1 < 0. Это значит что в этом уравнении нет корней. Следовательно, решений для нашего уравнения нет.

Ответ: нет решений.