Уравнение (x+2) ^4+x^4=82

(x + 2) ⁴ + x⁴ = 82.

Введем новую переменную, пусть х + 1 = а.

Получается новое уравнение: (а + 1) ⁴ + (а - 1) ⁴ = 82.

Раскрываем скобки:

(а⁴ + 4 а³ + 6 а² + 4 а + 1) + (а⁴ - 4 а³ + 6 а² - 4 а + 1) = 82.

Подводим подобные слагаемые:

а⁴ + 4 а³ + 6 а² + 4 а + 1 + а⁴ - 4 а³ + 6 а² - 4 а + 1 - 82 = 0.

2 а⁴ + 12 а² - 80 = 0.

Поделим на 2:

а⁴ + 6 а² - 40 = 0.

Произведем еще одну замену, пусть а² = с.

с² + 6 с - 40 = 0.

По теореме Виета корни равны - 10 и 4.

Возвращаемся ко второй замене а² = с.

а = - 10; а² = - 10 (нет корней).

а = 4; а² = 4; а = - 2 и а = 2.

Возвращаемся к первой замене х + 1 = а.

а = - 2; х + 1 = - 2; х = - 1 - 2; х = - 3.

а = 2; х + 1 = 2; х = 2 - 1; х = 1.

Ответ: корни уравнения равны - 3 и 1.