Доказать что n5 - 5n3+4 при всяком целом n делится на 120

1. Разложим на множители данное выражение:

f (n) = n^5 - 5n^3 + 4n; f (n) = n (n^4 - 5n^2 + 4).

Корни трехчлена:

D = 5^2 - 4 * 4 = 9 = 3^2; n = (5 ± 3) / 2; n1 = 1; n2 = 4.

Тогда:

f (n) = n (n^2 - 1) (n^2 - 4); f (n) = n (n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2); f (n) = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2).

2. Полученное выражение является произведением пяти последовательных целых чисел, содержащее:

1) хотя бы две двойки, одна из которых делится на 4; 2) хотя бы одну тройку; 3) хотя бы одну пятерку.

В итоге:

2 * 4 * 3 * 5 = 120.

Значит, f (n) - делится на 120.