доказать что n 5 - 5n 3+4n при всяком целом n делится на 120

Преобразуем выражение, сначала вынесем n за скобку:

n⁵ - 5n³ + 4n = n (n⁴ - 5n² + 4).

Разложим на множители вторую скобку, произведем замену:

n⁴ - 5n² + 4 = а² - 5a + 4. Корни квадратного трехчлена по теореме Виета равны 1 и 4.

Следовательно, а² - 5a + 4 = (а - 1) (а - 4).

Значит, n⁴ - 5n² + 4 = (n² - 1) (n² - 4).

Получается, что n⁵ - 5n³ + 4n = n (n² - 1) (n² - 4).

Разложим на множители вторую и третью скобку по формуле разности квадратов.

n (n - 1) (n + 1) (n - 2) (n + 2).

Получается: (n - 2) * (n - 1) * n * (n + 1) * (n + 2). Получилось произведение пяти подряд идущих целых чисел.

Одно из них точно четное, то есть делится на 2.

Каждое третье число делится на 3, значит, среди этих чисел найдется число, которое поделится на 3.

Каждое четвертое число делится на 4, значит, среди этих чисел найдется число, которое поделится на 4.

Каждое пятое число делится на 5, значит, среди этих чисел найдется число, которое поделится на 5.

Но 2 * 3 * 4 * 5 = 120.

Следовательно, число поделится на 120.