Произведение первого, третьего и пятого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равно 8, а сумма второго и четвертого равна (-5). Найдите сумму этой прогрессии.

Выразим все члены геометрической прогрессии через её первый член b₁ и знаменатель q.

b₂ = b₁ * q.

b₃ = b₁ * q².

b₄ = b₁ * q³.

b₅ = b₁ * q⁴.

Подставим выражения в исходную систему уравнений.

b₁ * b₃ * b₅ = 8;

b₂ + b₄ = - 5.

b₁ * b₁ * q² * b₁ * q⁴ = 8;

b₁ * q + b₁ * q³ = - 5.

Из первого равенства следует:

b₁³ * q⁶ = 8.

(b₁ * q²) ³ = 2³.

b₁ * q² = 2.

b₁ = 2/q².

Вынесем за скобки сомножитель b₁ * q во втором уравнении.

b₁ * q * (1 + q²) = - 5.

Подставим значение b₁ = 2/q².

2/q² * q * (1 + q²) = - 5.

2 (1 + q²) = - 5 * q.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно q.

2q² + 5q + 2 = 0.

q_1,2 = ( - 5 + / - √ (25 - 4 * 2 * 2)) / 2 * 2.

q_1,2 = ( - 5 + / - √ (25 - 16)) / 4.

q_1,2 = ( - 5 + / - 3) / 4.

q₁ = ( - 5 + 3) / 4 = - 1/2.

q₂ = ( - 5 - 3) / 4 = - 2.

Второй корень не удовлетворяет условию - прогрессия бесконечно убывает при q < 1.

Найдём первый член b₁ = 2/q² = 2 / ( - 1/2) ² = 2 * 4 = 8.

Найдём сумму геометрической прогрессии.

S_n = b₁ / (1 - q) = 8 / (1 - ( - 1/2)) = 8 / (1 + 1/2) = 8 : 3/2 = 8 * 2/3 = 16/3.

Ответ: S_n = 16/3.