Найдите двадцатый член возрастающей арифметической прогрессии {an}, если выполнены равенства a2a5=52 и a2+a3+a4+a5=34

1. Пусть an - арифметическая прогрессия:

a2a5 = 52; (1) a2 + a3 + a4 + a5 = 34. (2)

2. Из равенства (2) получим:

a2 + (a2 + d) + (a5 - d) + a5 = 34; 2 (a2 + a5) = 34; a2 + a5 = 17. (3)

3. Из равенств (1) и (3) следует, что a2 и a5 являются корнями уравнения:

t^2 - 17t + 52 = 0; D = 17^2 - 4 * 52 = 289 - 208 = 81 = 9^2; t = (17 ± 9) / 2; t1 = (17 - 9) / 2 = 4; t2 = (17 + 9) / 2 = 13.

4. Прогрессия возрастающая, поэтому:

a2 = 4; a5 = 13; 3d = 13 - 4 = 9; d = 3; a20 = a5 + 15d = 13 + 15 * 3 = 13 + 45 = 58.

Ответ: 58.