В классе 37 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?

Допустим, что в классе 19 девочек. Тогда в классе 37 - 19 = 18 мальчиков и для девочек имеется 19 вариантов количества друзей среди мальчиков. Это может быть любое число друзей от 0 до 18. Такое количество девочек удовлетворяет условию задачи.

Если же девочек будет хотя бы 20, то мальчиков в классе будет 17, а значит, будет только 18 различных вариантов количества друзей среди мальчиков, от 0 до 17. Поэтому, хотя бы две девочки будут дружить с одинаковым количеством мальчиков.

Ответ: 19 девочек.