Докажите, что функция f (x) = x^3+x на множестве действительных чисел возрастает

Для выполнения требования задания, воспользуемся дифференциальным исчислением. Прежде всего, отметим, что областью допустимых значений (ОДЗ) аргумента х данной функции f (x) = x³ + x является множество действительных чисел. Кроме того, данная функция дифференцируема на всей ОДЗ. Как известно, поведение функции зависит от знака производной. Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает. Вычислим производную данной функции: f ' (x) = (x³ + x) ' = 3 * x² + 1. Поскольку для любого действительного х ∈ (-∞; + ∞) справедливо неравенство x² ≥ 0, то 3 * x² + 1 ≥ 1 > 0. Итак, для любого действительного х ∈ (-∞; + ∞) справедливо неравенство f ' (x) > 0. Значит, на множестве действительных чисел данная функция возрастает. Что и требовалось доказать.