Найдите все корни многочлена P (x), если многочлен Р (х) = х^3 - 5 х^2 + ах + b делится на х - 3 без остатка, а при делении на х + 3 дает остаток - 42

Question

Текила

Математика

20 июня, 18:24

Найдите все корни многочлена P (x), если многочлен Р (х) = х^3 - 5 х^2 + ах + b делится на х - 3 без остатка, а при делении на х + 3 дает остаток - 42

+5

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Найна · Answer 1

Так как P (x) делится на (x-3) без остатка, то P (x) = (x-3) * Q (x), откуда P (3) = 0*Q (x) = 0, значит 3 это корень P (x), получаем:

P (3) = 3^3-5*3^2+a*3+b=-18+a*3+b=0, откуда a*3+b=18. (1)

Так как P (x) при делении на (x+3) дает остаток - 42, то P (x) = (x+3) * Q (x) - 42, откуда P (-3) = 0*Q (x) = 0, получаем:

P (-3) = (-3) ^3-5 * (-3) ^2-3*a+b=-72-3*a+b=-42, откуда - 3*a+b=30. (2)

Сложим (1) и (2) уравнения, получим: 2*b=48, откуда b=24.

Вычтем из (1) уравнения (2), получим: 6*a=-12, откуда a=-2.

Получаем P (x) = x^3-5x^2-2x+24 = (x-3) (x^2-2x-8) = (x-3) (x-4) (x+2). Откуда корни P (x) это 3,4,-2.

Ответ: 3,4,-2.