укажите наименьшее значение многочлена x^2-2x+2y^2+8+9

1. Выделим квадраты двучленов, обозначив данное выражение через функцию от двух переменных u (x, y):

u (x, y) = x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 9; u (x, y) = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 2 (y^2 + 4y + 4) - 8 + 9; u (x, y) = (x - 1) ^2 + 2 (y + 2) ^2.

2. Функция представлена в виде суммы квадратов двух выражений, поэтому наименьшее значение равно нулю и достигается в точке:

x - 1 = 0; x = 1; y + 2 = 0; y = - 2; (x; y) = (1; - 2); umin = u (1, - 2) = (1 - 1) ^2 + 2 (-2 + 2) ^2 = 0.

Ответ. Наименьшее значение выражения равно нулю.