Решите систему уравнений x+y=6, log2x+log2y=3

1. Область допустимых значений:

{x > 0;

{y > 0; {x ∈ (0; ∞);

{y ∈ (0; ∞).

2. Сложим логарифмы с одинаковым основанием:

{x + y = 6;

{log2x + log2y = 3; {x + y = 6;

{log2 (xy) = 3; {x + y = 6;

{xy = 2^3; {x + y = 6;

{xy = 8.

3. По обратной теореме Виета, переменные x и y являются корнями уравнения:

k^2 - 6k + 8 = 0; D/4 = (b/2) ^2 - ac; D/4 = 3^2 - 8 = 1; x = (-b/2 ± √ (D/4)) / a; x = 3 ± √1 = 3 ± 1; x1 = 3 - 1 = 2; x2 = 3 + 1 = 4.

Оба корня принадлежат области допустимых значений:

Ответ: (2; 4), (4; 2).