Решить систем уравнений : log2X+log2Y=2 x-4y=15

{log ₂ х + log ₂ y = 2;

{x - 4y = 15;

1. Преобразуем первое уравнение, чтобы убрать логарифм:

log ₂ х + log ₂ y = 2;

2. Найдем ОДЗ:

x > 0;

y > 0;

3. Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством произведения логарифма:

log ₂ хy = 2;

4. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

2 = 2log ₂ 2 = log ₂ 2²;

log ₂ хy = log ₂ 2²;

5. Из равенства основания логарифмов следует:

хy = 2²;

хy = 4;

6. Получим равносильную систему уравнений:

{хy = 4;

{x - 4y = 15;

7. Решим ее методом подстановки. Выразим х из второго уравнения и подставим в первое:

х = 15 + 4 у;

(15 + 4 у) у = 4;

4 у² + 15y - 4 = 0;

8. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 15² - 4 * 4 * ( - 4) = 225 + 64 = 289;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 15 - √289) / 2 * 4 = ( - 15 - 17) / 8 = - 32 / 8 = - 4, не подходит по ОДЗ;

у2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 15 + √289) / 2 * 4 = ( - 15 + 17) / 8 = 2 / 8 = 1/4;

Тогда:

если у = 1/4, то х = 15 + 4 * 1/4 = 15 + 1 = 16;

Ответ: у = 1/4, х = 16.