4 в степени Икс плюс 2 степени Икс плюс один равно 80

4^х + 2^{х + 1} = 80.

Преобразуем данное уравнение:

2^{2 х} + 2^х * 2¹ - 80 = 0.

Произведем замены переменных 2^х = t, t > 0, получим квадратное уравнение и решим его через дискриминант:

t² + 2t - 80 = 0.

D = 2² - 4 * 1 * (-80) = 324;

t_1,2 = (-2 ± 18) / 2;

t₁ = 8, t₂ = - 10 - не удовлетворяет условию.

2^х = 8;

2^х = 2³;

х = 3.

Ответ: 3 - корень уравнения.