Определите значение x, при котором функция y=-x^2-6x-9 принимает наибольшее значение. Найдите это значение.

I способ.

y = - x² - 6x - 9. Рассмотрим функцию, это квадратичная парабола, ветви ее расположены вниз.

Наивысшей точкой графика будет вершина параболы. Значение х в этой точке будет максимальным. Найдем координаты х вершины параболы:

x₀ = (-b) / 2a = 6 / (-2) = - 3.

Значит, в точке х = - 3 значение функции будет максимальным. Найдем значение функции в этой точке значение у).

у = - (-3) ² - 6 * (-3) - 9 = - 9 + 18 - 9 = 0.

Максимальное значение функции равно 0.

II способ.

Найдем производную функции:

y = - x² - 6x - 9.

y' = - 2x - 6.

Найдем нули производной:

-2 х - 6 = 0.

-2 х = 6.

х = 6 : (-2).

х = - 3.

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; - 3) пусть х = - 4; y' (-4) = - 2 * (-4) - 6 = 8 - 6 = 2 (плюс), функция возрастает.

(-3; + ∞) пусть х = 0; y' (0) = - 2 * 0 - 6 = - 6 (минус), функция возрастает.

Значит, х = - 3 - это точка максимума.

Найдем максимальное значение функции в этой точке:

y (-3) = - (-3) ² - 6 * (-3) - 9 = - 9 + 18 - 9 = 0.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0.